Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
integral-pi^pi z^2 cos 2 z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral-pi^pi z^2cos(2z),dz. O conteúdo envolvido é a análise de paridade de funções e integração por partes para polinômios vezes funções trigonométricas.

Passo 2

Observamos que tanto z^2 quanto cos(2z) são funções pares, logo o produto é par e podemos usar

Passo 3

Agora vamos calcular I = integral0^pi z^2cos(2z),dz por partes. Tomamos
u = z^2, dv = cos(2z),dz Rightarrow du = 2z,dz, v = tfrac12sin(2z)
Isso dá

Passo 4

Chamando J = integral0^pi zsin(2z),dz, fazemos outra integração por partes com
u = z, dv = sin(2z),dz Rightarrow du=dz, v = -tfrac12cos(2z)
Então

Passo 5

Logo I = -J = pi/2 e finalmente usamos a paridade para concluir:

Resposta

pi

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