Seja f(x)=raizlog 12(log 10(x+1)). Determine Dom(f) e calcule f(9).

Passo 1

O enunciado pede domínio e valor de f(9) para a função f(x)= raizlog1/2l(log10(x+1)r). O conteúdo envolve logaritmos de bases diferentes e raiz quadrada: vamos usar as condições de existência de log (argumento positivo) e de raiz (radicando não negativo).

Passo 2

Para log10(x+1) existir precisamos de x+1>0, ou seja x>-1. Porém esse resultado será argumento de log1/2, que também exige argumento positivo, então na prática precisamos de log10(x+1)>0. Como log10(x+1)>0 equivale a x+1>1, concluímos x>0.

Passo 3

Agora para a raiz existir o radicando deve satisfazer log1/2(log10(x+1))>=0. Sabendo que para base 1/2<1 vale log1/2(y)>=0iff0, impomos 0. A primeira parte já deu x>0 e a segunda dá x+1<=10, isto é x<=9.

Passo 4

Unindo todas as condições achamos o domínio como o conjunto de x tais que x>0 e x<=9. Logo
Dom(f)=(0,9].

Passo 5

Para calcular f(9): primeiro log10(9+1)=log10(10)=1, depois log1/2(1)=0 e finalmente raiz0=0, de modo que f(9)=0.

Resposta

O domínio é (0, 9] e f(9)=0.

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