Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
integral0^pi^2 / 2 cos raiz2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida I=integral0^pi^2/2cosraiz2x,dx. O conteúdo principal envolve técnicas de substituição para simplificar a raiz e depois integração por partes.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=raiz2x. Então temos
x=u^22, dx= u,du
Quando x=0 vem u=0, e quando x=pi^2/2 vem u=raiz2cdot(pi^2/2)=pi. A integral fica
I=integral0^pi ucos u,du

Passo 3

Para resolver integral0^piucos u,du, aplicamos integração por partes. Seja A=u e dV=cos u,du. Então dA=du e V=sin u. Pela fórmula,
integral ucos u,du= usin u-integralsin u,du= usin u+cos u + C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a pi:
l[usin u+cos ur]0^pi=(pisinpi+cospi)-(0sin0+cos0)=(-1)-(1)=-2

Resposta

-2

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