Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
integral-1^2 ln (x+2) d x

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado pede: calcular a integral definida integral-1^2ln(x+2),dx. O conteúdo aqui é integração de logaritmo, e vamos precisar usar uma mudança de variável (ou a fórmula pronta de integralln t,dt).

Passo 2

Para simplificar o domínio e o argumento do logaritmo, fazemos a substituição t = x + 2. Assim, dt = dx e os limites mudam: quando x=-1, temos t=1; quando x=2, temos t=4.

Passo 3

Com isso, a integral fica:
integral-1^2ln(x+2),dx = integral1^4ln t,dt

Passo 4

Agora usamos a fórmula de integração de logaritmo:
integral ln t,dt = tln t - t + C

Passo 5

Aplicando como integral definida entre 1 e 4:
integral1^4ln t,dt = l[tln t - tr]1^4 = (4ln4 - 4) - (1ln1 - 1)

Passo 6

Calculando cada parte: 1ln1 = 0, então
(4ln4 - 4) - (0 - 1) = 4ln4 - 4 + 1 = 4ln4 - 3

Passo 7

Por fim, lembrando que ln4=ln(2^2)=2ln2, obtemos:
4ln4 - 3 = 4cdot(2ln2) - 3 = 8ln2 - 3

Resposta

8ln2 - 3

Exercícios relacionados