Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
integral0^pi / 3 sen 3 x cos x d x

Passo 1

Estamos com a integral definida integral0^pi/3 sin(3x)cos(x),dx. O assunto é integração de produtos trigonométricos e vamos usar produto-para-soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade de produto para soma: sin Acos B = tfrac12[sin(A+B)+sin(A-B)]. Com A=3x e B=x, isso vira:
sin(3x)cos(x) = tfrac12[sin(4x)+sin(2x)]

Passo 3

Substituindo na integral, separamos:
integral0^pi/3 sin(3x)cos(x),dx = 12 integral0^pi/3 [sin(4x)+sin(2x)],dx

Passo 4

Agora achamos as primitivas. Sabemos que:
  • integral sin(4x),dx = -tfrac14cos(4x),
  • integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x).
    Logo, uma antiderivada é:
-18cos(4x) - 14cos(2x)

Passo 5

Vamos avaliar entre 0 e pi/3:
-18[cos(4x)]0^pi/3 - 14[cos(2x)]0^pi/3

Passo 6

Calculando os valores trigonométricos: cos(4pi/3)=-tfrac12, cos(2pi/3)=-tfrac12 e cos(0)=1. Assim:
-18(-tfrac12 - 1) - 14(-tfrac12 - 1) = 316 + 38 = 916

Resposta

tfrac916

Exercícios relacionados