Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
integral0^1 x sen^-1 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=integral0^1x,sin^-1x,dx
Isso envolve conteúdo de integração por partes e, depois, uma substituição trigonométrica para avaliar a integral remanescente.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, identificamos
$$u=\sin^{-1}x,\qquad dv=x,dx.
u=sin^-1x, dv=x,dx ãdu=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},dx,
\qquad v=\int x,dx=\frac{x^2}{2}.
du=1raiz1-x^2,dx, v=integral x,dx=x^22 óI=\Bigl.\frac{x2}{2}\sin{-1}x\Bigr|_{0}{1}-\int_{0}{1}\frac{x2}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x2}},dx.
$$

Passo 3

O primeiro termo é simples de avaliar nas fronteiras:
$$\Bigl.\frac{x2}{2}\sin{-1}x\Bigr|_{0}{1}=\frac{12}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{4}.
lx^22sin^-1xr|0^1=1^22cdotpi2-0=pi4 I=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\int_{0}{1}\frac{x2}{\sqrt{1-x^2}},dx.
I=pi4-12integral0^1x^2raiz1-x^2,dx J=\int_{0}{1}\frac{x2}{\sqrt{1-x^2}},dx$$
para resolver a parte restante.

Passo 4

Para calcular
$$J=\int_{0}{1}\frac{x2}{\sqrt{1-x^2}},dx,
J=integral0^1x^2raiz1-x^2,dx, çãéx=\sin t,\quad dx=\cos t,dt,
x=sin t, dx=cos t,dt, ãJ=\int_{0}{\pi/2}\frac{\sin2 t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}\cos t,dt=\int_{0}{\pi/2}\sin2 t,dt.
pi/2\int_{0}{\pi/2}\sin2 t,dt=\frac{\pi}{4}.
$$
Logo J=integral0^pi/2sin^2 traiz1-sin^2 tcos t,dt=integral0^pi/2sin^2 t,dt .

Passo 5

Substituindo de volta em I:
$$I=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}.
$$

Resposta

$\displaystyle \frac{\pi}{8}$

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