Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Isso envolve conteúdo de integração por partes e, depois, uma substituição trigonométrica para avaliar a integral remanescente.
Passo 2
Para aplicar integração por partes, identificamos
$$u=\sin^{-1}x,\qquad dv=x,dx.
\qquad v=\int x,dx=\frac{x^2}{2}.
$$
Passo 3
O primeiro termo é simples de avaliar nas fronteiras:
$$\Bigl.\frac{x2}{2}\sin{-1}x\Bigr|_{0}{1}=\frac{12}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{4}.
para resolver a parte restante.
Passo 4
Para calcular
$$J=\int_{0}{1}\frac{x2}{\sqrt{1-x^2}},dx,
$$
Logo .
Logo
Passo 5
Substituindo de volta em
:
$$I=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}.
$$
Resposta
$\displaystyle \frac{\pi}{8}$