Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule: (f circ f circ f circ f)(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio de f e depois calcular a composição quádrupla de f aplicada a x^2+1. O conteúdo é função racional e composição de funções, e vamos usar a condição de denominador não nulo e a propriedade de involução.

Passo 2

Para determinar Dom(f), olhamos o denominador em f(x)=x+1x-1. Precisamos de x-1neq 0, ou seja, xneq 1. Assim:
Dom(f)=xinRmid xneq 1

Passo 3

Para ver o efeito de várias composições, vamos calcular primeiro f(f(x)). Seja y=f(x)=x+1x-1. Então:
f(f(x))=f(y)=y+1y-1=x+1x-1+1x+1x-1-1
Simplificando o numerador e denominador, chega-se a f(f(x))=x. Ou seja, fcirc f=id, a função identidade.

Passo 4

Como fcirc f=id, temos
f^4=(fcirc f)circ(fcirc f)=idcircid=id
Portanto, para qualquer entrada válida t, (fcirc fcirc fcirc f)(t)=t.

Passo 5

Agora aplicamos a entrada t=x^2+1. Logo
(fcirc fcirc fcirc f)(x^2+1)=x^2+1
Só precisamos garantir que x^2+1 esteja no domínio de f, ou seja x^2+1neq 1, o que dá xneq 0.

Resposta

Dom(f)=xinRmid xneq 1
(fcirc fcirc fcirc f)(x^2+1)=x^2+1, definido para xneq 0.

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