Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
integralpi / 4^3 pi / 4 x cotg x cosec x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralpi/4^3pi/4 x,cot x,csc x,dx
o conteúdo principal envolve integração por partes e conhecer a integral de csc x.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = x, dv = cot x,csc x,dx
Lembrando que a fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 3

Calculamos as diferentes:
du = dx, v = integral cot x,csc x,dx = -csc x + C
já que ddx(csc x) = -csc xcot x.

Passo 4

Pelo método de partes:
integral xcot xcsc x,dx = x,v - integral v,du = -xcsc x - integral(-csc x),dx = -xcsc x + integral csc x,dx

Passo 5

Agora usamos a integral conhecida
integral csc x,dx = lnl|tan(x/2)r| + C
Logo uma primitiva geral é
F(x) = -xcsc x + lnl|tan(x/2)r|

Passo 6

Avaliamo-la de x=pi/4 a x=3pi/4:
I = F(3pi/4) - F(pi/4) =l[-tfrac3pi4csctfrac3pi4 + lntantfrac3pi8r] -l[-tfracpi4csctfracpi4 + lntantfracpi8r]

Passo 7

Como csc(3pi/4)=csc(pi/4)=raiz2 e
tantfrac3pi8=cottfracpi8=1/(tan(pi/8))=raiz2+1,
lntantfrac3pi8-lntantfracpi8=lnraiz2+1raiz2-1=ln(3+2raiz2)
Reunindo tudo dá
I = -piraiz22 + ln(3+2raiz2)

Resposta

-\frac{\pi\sqrt2}{2} + \ln\bigl(3 + 2\sqrt2\bigr)

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