Nos Exercícios de 25 a 34, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
o conteúdo principal envolve integração por partes e conhecer a integral de
.
Passo 2
Para aplicar integração por partes, escolhemos
Lembrando que a fórmula é
.
Passo 3
Calculamos as diferentes:
já que
.
Passo 4
Pelo método de partes:
Passo 5
Agora usamos a integral conhecida
Logo uma primitiva geral é
Passo 6
Avaliamo-la de
x=pi/4 a
x=3pi/4 :
Passo 7
Como
csc(3pi/4)=csc(pi/4)=raiz2 e
tantfrac3pi8=cottfracpi8=1/(tan(pi/8))=raiz2+1 ,
Reunindo tudo dá
Resposta
-\frac{\pi\sqrt2}{2} + \ln\bigl(3 + 2\sqrt2\bigr)