Nos Exercícios 26-29, calcule \frac{d}{d t} \mathbf{r}(g(t)) usando a regra da cadeia.
\mathbf{r}(t)=\langle 4 \operatorname{sen} 2 t, 6 \cos 2 t\rangle, \quad g(t)=t^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede para calcular \dfrac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t)).
  • As funções fornecidas são: \mathbf{r}(t)=\langle 4\sin(2t),\,6\cos(2t)\rangle, \qquad g(t)=t^{2}.
  • Então precisamos derivar a composição \mathbf{r}\big(g(t)\big) em relação a t.

Passo 2

Escrever explicitamente a composição \mathbf{r}(g(t)) (isso já simplifica muito a cabeça).
\mathbf{r}\big(g(t)\big)=\mathbf{r}\big(t^{2}\big) =\langle 4\sin(2t^{2}),\,6\cos(2t^{2})\rangle.
Lembrete prático: para funções vetoriais a derivada é feita componente a componente.

Passo 3

Revisão rápida e didática da regra da cadeia que vamos usar (bem mastigada).
  • Regra da cadeia para escalares: se h(t)=f(u(t)) então h'(t)=f'\big(u(t)\big)\cdot u'(t).Aplicação direta para funções trigonométricas compostas: \frac{d}{dt}\sin\big(u(t)\big)=\cos\big(u(t)\big)\cdot u'(t), \qquad \frac{d}{dt}\cos\big(u(t)\big)=-\sin\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
  • No nosso caso a função interna é u(t)=2t^{2}. Vamos calcular sua derivada: u'(t)=\frac{d}{dt}\big(2t^{2}\big)=2\cdot 2t=4t.(Explicando: derive t^{2} para obter 2t e multiplique pelo 2 que está na frente: 2\cdot 2t=4t.)

Passo 4

Derivar a primeira componente passo a passo.
A primeira componente é 4\sin(2t^{2}). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\big(4\sin(2t^{2})\big) =4\cdot\frac{d}{dt}\sin(2t^{2}) =4\cdot\cos(2t^{2})\cdot\big(4t\big).
Multiplicando os termos:
\frac{d}{dt}\big(4\sin(2t^{2})\big)=16t\cos(2t^{2}).

Passo 5

Derivar a segunda componente passo a passo.
A segunda componente é 6\cos(2t^{2}). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\big(6\cos(2t^{2})\big) =6\cdot\frac{d}{dt}\cos(2t^{2}) =6\cdot\big(-\sin(2t^{2})\big)\cdot\big(4t\big).
Multiplicando os termos:
\frac{d}{dt}\big(6\cos(2t^{2})\big)=-24t\sin(2t^{2}).

Passo 6

Juntar as duas componentes e escrever a derivada vetorial final.
\frac{d}{dt}\,\mathbf{r}\big(g(t)\big) =\big\langle 16t\cos(2t^{2}),\,-24t\sin(2t^{2})\big\rangle.
Como check rápido (opcional mental): outra forma é calcular \mathbf{r}'(s) em s=t^{2} e multiplicar escalarmente por g'(t)=2t. Fazendo isso dá o mesmo resultado.

Resposta

\langle 16t\cos(2t^{2}),\,-24t\sin(2t^{2})\rangle

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