Nos Exercícios 26-29, calcule \frac{d}{d t} \mathbf{r}(g(t)) usando a regra da cadeia.
\mathbf{r}(t)=\left\langle 3^{t}, \operatorname{arc} \operatorname{tg} t\right\rangle, \quad g(t)=\operatorname{sen} t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (pegar estes dados do enunciado):
  • A função vetorial \mathbf{r} é \mathbf{r}(t)=\left\langle 3^{t},\\ \operatorname{arctg} t\right\rangle.
  • A função escalar g é g(t)=\operatorname{sen} t.
  • O pedido: calcular \dfrac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t)) usando a regra da cadeia.

Passo 2

Entendendo o que significa \mathbf{r}(g(t)) e a regra da cadeia para funções vetoriais:
  • A composição \mathbf{r}(g(t)) é a aplicação de g(t) como entrada de \mathbf{r}. Assim
\mathbf{r}(g(t))=\left\langle 3^{\,g(t)},\\ \operatorname{arctg}\bigl(g(t)\bigr)\right\rangle.
  • A regra da cadeia para funções vetoriais (aplicada componente a componente) diz que, se \mathbf{r}(u)=\langle r_1(u),r_2(u)\rangle e u=g(t), então
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\mathbf{r}'(g(t))\cdot g'(t),
onde \mathbf{r}'(u)=\left\langle r_1'(u),r_2'(u)\right\rangle e o produto por g'(t) é multiplicação por escalar (cada componente é multiplicada por g'(t)). Em palavras: derivar cada componente em relação a u, avaliar em u=g(t) e multiplicar pelo g'(t).

Passo 3

Derivar as componentes de \mathbf{r}(u) em relação a u:
  • Para a primeira componente r_1(u)=3^{u}: a regra para exponencial com base fixa dá
\frac{d}{du}3^{u}=3^{u}\ln 3.
Explicação curta: a^{u}=e^{u\ln a} e derivando obtemos a^{u}\ln a.
  • Para a segunda componente r_2(u)=\operatorname{arctg} u: a derivada é
\frac{d}{du}\operatorname{arctg} u=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isto é uma fórmula padrão: a derivada do arco-tangente é 1/(1+x^2).
Portanto
\mathbf{r}'(u)=\left\langle 3^{u}\ln 3,\\ \frac{1}{1+u^{2}}\right\rangle.

Passo 4

Derivar g(t)=\operatorname{sen} t:
  • A derivada é a função cosseno:
g'(t)=\frac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\operatorname{cos} t.
(Isto vem da definição básica de derivadas das funções trigonométricas.)

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados:
  • Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\mathbf{r}'(g(t))\cdot g'(t).
  • Substituindo \mathbf{r}'(u) com u=g(t)=\operatorname{sen} t e multiplicando por g'(t)=\operatorname{cos} t, obtemos
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\left\langle 3^{\,\operatorname{sen} t}\ln 3,\\ \frac{1}{1+\operatorname{sen}^{2} t}\right\rangle\cdot \operatorname{cos} t.
  • Multiplicando o escalar \operatorname{cos} t em cada componente dá a forma final componente a componente:
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\left\langle 3^{\,\operatorname{sen} t}\ln 3\;\operatorname{cos} t,\\ \frac{\operatorname{cos} t}{1+\operatorname{sen}^{2} t}\right\rangle.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\left\langle 3^{\,\operatorname{sen} t}\ln 3\;\operatorname{cos} t,\\ \frac{\operatorname{cos} t}{1+\operatorname{sen}^{2} t}\right\rangle

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