Nos Exercícios
, calcule
usando a regra da cadeia.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (pegar estes dados do enunciado):
- A função vetorial
é . - A função escalar
é . - O pedido: calcular
usando a regra da cadeia.
Passo 2
Entendendo o que significa
e a regra da cadeia para funções vetoriais:
- A composição
é a aplicação de como entrada de . Assim
- A regra da cadeia para funções vetoriais (aplicada componente a componente) diz que, se
e , então
onde
e o produto por
é multiplicação por escalar (cada componente é multiplicada por
). Em palavras: derivar cada componente em relação a
, avaliar em
e multiplicar pelo
.
Passo 3
Derivar as componentes de
em relação a
:
- Para a primeira componente
: a regra para exponencial com base fixa dá
Explicação curta:
e derivando obtemos
.
- Para a segunda componente
: a derivada é
Isto é uma fórmula padrão: a derivada do arco-tangente é
.
Portanto
Passo 4
Derivar
:
- A derivada é a função cosseno:
(Isto vem da definição básica de derivadas das funções trigonométricas.)
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados:
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo
com e multiplicando por , obtemos
- Multiplicando o escalar
em cada componente dá a forma final componente a componente: