Seja \mathbf{v}(s)=s^{2} \mathbf{i}+2 s \mathbf{j}+9 s^{-2} \mathbf{k}. Calcule \frac{d}{d s} \mathbf{v}(g(s)) em s=4, supondo que g(4)=3 e g^{\prime}(4)=-9.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pedido: calcular \dfrac{d}{ds}\mathbf{v}(g(s)) em s=4.
  • Dados:
    • \mathbf{v}(s)=s^{2}\mathbf{i}+2s\mathbf{j}+9s^{-2}\mathbf{k}.
    • g(4)=3.
    • g'(4)=-9.

Passo 2

Ideia/método (regra da cadeia para funções vetoriais):
  • Quando uma função vetorial \mathbf{v}(t) (com variável escalar t) é composta com uma função escalar t=g(s), a derivada em relação a s é dada pela regra da cadeia aplicada componente a componente. Em fórmula:
\frac{d}{ds}\mathbf{v}(g(s))=\mathbf{v}'(g(s))\,g'(s).
  • Aqui \mathbf{v}'(t) é o vetor derivada de \mathbf{v} em t (derivando cada componente), e g'(s) é um escalar; a multiplicação é escalar vezes vetor.

Passo 3

Calcular \mathbf{v}'(s) derivando componente a componente (usando a regra do poder: \dfrac{d}{ds}s^{n}=n s^{n-1}):
  • Derivada da componente em \mathbf{i}: \dfrac{d}{ds}s^{2}=2s.
  • Derivada da componente em \mathbf{j}: \dfrac{d}{ds}2s=2.
  • Derivada da componente em \mathbf{k}: \dfrac{d}{ds}9s^{-2}=9\cdot(-2)s^{-3}=-18 s^{-3}.
Portanto,
\mathbf{v}'(s)=2s\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}-18s^{-3}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar \mathbf{v}'(s) em s=g(4)=3 (usei o dado g(4)=3):
  • Componente \mathbf{i}: 2\cdot 3=6.
  • Componente \mathbf{j}: 2.
  • Componente \mathbf{k}: -18\cdot 3^{-3}=-18\cdot \dfrac{1}{27}=-\dfrac{18}{27}=-\dfrac{2}{3}.
Logo
\mathbf{v}'(3)=6\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}-\tfrac{2}{3}\,\mathbf{k}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia com g'(4)=-9 (usei o dado g'(4)=-9):
\frac{d}{ds}\mathbf{v}(g(s))\Big|_{s=4}=\mathbf{v}'(3)\,g'(4)=(6\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}-\tfrac{2}{3}\,\mathbf{k})\cdot(-9).
Multiplicando escalarmente cada componente:
  • -9\cdot 6=-54.
  • -9\cdot 2=-18.
  • -9\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)=+6.
Portanto o vetor resultante é
-54\,\mathbf{i}-18\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}.

Resposta

-54\,\mathbf{i}-18\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}

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