Nos Exercicios de 1 a 26, ache a derivada da função dada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}x\right) $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à derivada de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de derivação da função arco seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra para derivar a função arco seno. Se temos uma função $ f(x) = \sin^{-1}(u) $, onde $ u $ é uma função de $ x $, a derivada de $ f $ em relação a $ x $ é dada por:
Aqui, $ u’ $ representa a derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do arco seno é $ u = \frac{1}{2}x $. Vamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, substituímos $ u $ e $ u’ $ na fórmula da derivada da função arco seno:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador da fração:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}x\right) $ é: