Nos Exercicios de 1 a 26, ache a derivada da função dada.
f(x)=sen^-1 12 x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}x\right) $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à derivada de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de derivação da função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra para derivar a função arco seno. Se temos uma função $ f(x) = \sin^{-1}(u) $, onde $ u $ é uma função de $ x $, a derivada de $ f $ em relação a $ x $ é dada por:
f(x) = sin^-1(u)
Aqui, $ u’ $ representa a derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do arco seno é $ u = \frac{1}{2}x $. Vamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = 12x

Passo 4

Agora, substituímos $ u $ e $ u’ $ na fórmula da derivada da função arco seno:
u

Passo 5

Vamos simplificar o denominador da fração:
raiz1 - (12x)^2 = raiz1 - x^24 = raiz4 - x^24 = raiz4 - x^22

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = 12raiz4 - x^22 = 1raiz4 - x^2

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}x\right) $ é:
f(x) = sin^-1(12x)

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