Nos exercícios 8 a 27. calcular as derivadas parciais de 1^2 ordem.
z=x^2-y^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = x^2 - y^2x^2 + y^2
O conteúdo envolvido é derivada parcial de função de duas variáveis, aplicando a regra do quociente (para as primeiras derivadas) e depois as regras do produto e da cadeia (para as segundas).

Passo 2

Para partial zpartial x use a regra do quociente: se z = u/v, então
zx = ux,v - u,vxv^2
Aqui u = x^2 - y^2, v = x^2 + y^2, logo ux = 2x e vx = 2x. Substituindo,
zx = 2x(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2),2x(x^2 + y^2)^2 = 4x,y^2(x^2 + y^2)^2
De modo análogo,
zy = uy,v - u,vyv^2 = (-2y)(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2),2y(x^2 + y^2)^2 = -4x^2,y(x^2 + y^2)^2

Passo 3

Para zxx=partial^2 zpartial x^2 derivamos
zx = 4x,y^2,(x^2 + y^2)^-2 em x, usando produto e cadeia:
zxx =4y^2l[(x^2 + y^2)^-2 + xcdot(-2)(x^2 + y^2)^-3cdot2xr] = 4y^2l(x^2 + y^2 - 4x^2r)(x^2 + y^2)^3 = 4y^2(y^2 - 3x^2)(x^2 + y^2)^3

Passo 4

Para zxy=partial^2 zpartial xpartial y derivamos zx em y:
zxy =4xl[2y(x^2 + y^2)^-2 + y^2cdot(-2)(x^2 + y^2)^-3cdot2yr] = 8xy,(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3

Passo 5

Para zyy=partial^2 zpartial y^2 derivamos
zy = -4x^2,y,(x^2 + y^2)^-2 em y:
zyy =-4x^2l[(x^2 + y^2)^-2 + ycdot(-2)(x^2 + y^2)^-3cdot2yr] = 4x^2l(3y^2 - x^2r)(x^2 + y^2)^3

Resposta

zx = 4x,y^2(x^2 + y^2)^2, zy = -4x^2,y(x^2 + y^2)^2,
zxx = 4y^2(y^2 - 3x^2)(x^2 + y^2)^3, zxy = 8xy(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3, zyy = 4x^2(3y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^3

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