Nos exercícios 38 a 47, calcular as derivadas parciais de 1^2 ordem.
h(u, v, w, t)=u^2+v^2-ln (w t).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
h(u,v,w,t)=u^2+v^2-ln(wt)
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais em funções de várias variáveis, usando regras básicas (potência, logaritmo e separação ln(wt)=ln w+ln t).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem, tratando cada variável como variável e as demais como constantes:
partial hpartial u =2u,
partial hpartial v =2v,
partial hpartial w =-1w,
partial hpartial t =-1t

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras, derivando cada primeira ordem em relação à mesma variável:
partial^2hpartial u^2 =2,
partial^2hpartial v^2 =2,
partial^2hpartial w^2 =1w^2,
partial^2hpartial t^2 =1t^2

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas, derivando cada primeira ordem em relação a uma variável diferente. Como 2u não depende de v,w,t, 2v não depende de u,w,t e -1/w e -1/t não dependem de u,v nem entre si, todas as mistas são zero:
partial^2hpartial upartial v =partial^2hpartial upartial w =partial^2hpartial upartial t =partial^2hpartial vpartial w =partial^2hpartial vpartial t =partial^2hpartial wpartial t =0

Resposta

partial hpartial u=2u, partial hpartial v=2v, partial hpartial w=-1w, partial hpartial t=-1t
partial^2hpartial u^2=2, partial^2hpartial v^2=2, partial^2hpartial w^2=1w^2, partial^2hpartial t^2=1t^2
partial^2hpartial upartial v =partial^2hpartial upartial w =partial^2hpartial upartial t =partial^2hpartial vpartial w =partial^2hpartial vpartial t =partial^2hpartial wpartial t =0

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