Usando a definição 4.1.1, mostrar que
tem derivadas parciais na origem, valendo
c
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
tem derivadas parciais na origem, ou seja, em
, e que essas derivadas valem zero. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que é o que a Definição 4.1.1 nos ensina.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
na origem,
, é basicamente a taxa de variação de
quando a gente varia
um pouquinho, mantendo
fixo em zero. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos calcular esse limite. Primeiro, substituímos na função:
E sabemos que
. Então, o limite fica:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a
. A definição é semelhante:
Substituindo na função:
Então, o limite fica:
Resposta
As derivadas parciais de
na origem são: