Usando a definição 4.1.1, mostrar que f(x, y)=x^13 y^13 tem derivadas parciais na origem, valendo partial fpartial x(0,0)=0 c partial fpartial y(0,0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função f(x, y) = x^13 y^13 tem derivadas parciais na origem, ou seja, em (0,0) , e que essas derivadas valem zero. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que é o que a Definição 4.1.1 nos ensina.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x na origem, partial fpartial x(0,0) , é basicamente a taxa de variação de f quando a gente varia x um pouquinho, mantendo y fixo em zero. Matematicamente, isso é representado por:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h

Passo 3

Vamos calcular esse limite. Primeiro, substituímos na função:
f(h, 0) = h^13 cdot 0^13 = h^13 cdot 0 = 0
E sabemos que f(0, 0) = 0 . Então, o limite fica:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a y . A definição é semelhante:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k
Substituindo na função:
f(0, k) = 0^13 cdot k^13 = 0 cdot k^13 = 0
Então, o limite fica:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0 = 0

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) = x^13 y^13 na origem são:
partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0

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