Nos exercícios 8 a 27. calcular as derivadas parciais de 1^2 ordem.
z=e^x^2+y^2-4.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = e^x^2 + y^2 - 4
O conteúdo aqui é o uso da regra da cadeia (para derivar e^u) e, nos casos de segunda ordem, também da regra do produto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Seja u = x^2 + y^2 - 4, então z = e^u e
partial zpartial u = e^u
Como
partial upartial x = 2x, partial upartial y = 2y,
pela regra da cadeia temos
partial zpartial x = partial zpartial u,partial upartial x = e^u cdot 2x = 2x,e^x^2 + y^2 - 4,
partial zpartial y = partial zpartial u,partial upartial y = e^u cdot 2y = 2y,e^x^2 + y^2 - 4

Passo 3

Calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a x. Partindo de
zx = 2x,e^u,
aplicamos a regra do produto e a cadeia:
zxx = partialpartial xl(2x,e^ur) = 2,e^u + 2x,partialpartial x(e^u) = 2,e^u + 2xl(e^ucdot 2xr) = l(2 + 4x^2r)e^u

Passo 4

Calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a y. De modo análogo,
zyy = partialpartial yl(2y,e^ur) = 2,e^u + 2yl(e^ucdot 2yr) = l(2 + 4y^2r)e^u

Passo 5

Calcular a derivada mista partial^2 z/(partial xpartial y). Usando
zx = 2x,e^u
e derivando em relação a y (tratando x como constante):
zxy = partialpartial yl(2x,e^ur) = 2xl(e^ucdot 2yr) = 4xy,e^u
Como a função é C^2, vale também zyx=zxy.

Resposta

zx = 2x,e^x^2 + y^2 - 4, zy = 2y,e^x^2 + y^2 - 4,
zxx = l(4x^2 + 2r),e^x^2 + y^2 - 4, zyy = l(4y^2 + 2r),e^x^2 + y^2 - 4,
zxy = zyx = 4xy,e^x^2 + y^2 - 4

Exercícios relacionados