Uma função foi determinada por um analista, relacionando a quantidade comprada de certo insumo x, associada à quantidade y produzida de dada linha de fabricação, a uma empresa. Esta expressão seguia, aproximadamente, a lei y=\frac{40 x^{2}-20}{12 x+5}. A qual quantidade de insumos a se comprar, para obter-se uma produção nula, aproximadamente?
\bigcirc 1
\bigcirc 0
\bigcirc 4
\bigcirc 3

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a quantidade comprada de insumo x e a produção y pela fórmula
y=\frac{40x^{2}-20}{12x+5}.
A pergunta é: para qual quantidade de insumo x a produção é nula (isto é, y=0)? As opções fornecidas são 1, 0, 4 e 3. Vou usar essas informações para encontrar os valores de x que anulam y e então escolher a opção correta.

Passo 2

Primeiro conceito importante: uma fração \displaystyle y=\frac{N(x)}{D(x)} é igual a zero exatamente quando o numerador N(x) é zero e o denominador D(x) é diferente de zero. Aqui N(x)=40x^{2}-20 e D(x)=12x+5. Então devemos resolver
40x^{2}-20=0
e também verificar que o valor encontrado não zera 12x+5.

Passo 3

Resolver a equação do numerador:
40x^{2}-20=0.
Dividindo ambos os lados por 20 (para simplificar),
2x^{2}-1=0.
Isolando x^{2},
2x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora tiramos raiz quadrada para obter x:
x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Para ter uma noção numérica, usamos que \sqrt{2}\approx1{,}414, então
\frac{1}{\sqrt{2}}\approx\frac{1}{1{,}414}\approx0{,}707.
Portanto os dois zeros teóricos são x\approx+0{,}707 e x\approx-0{,}707.

Passo 5

Verificação do denominador: devemos garantir que 12x+5\neq0 nos valores encontrados.
Para x\approx0{,}707:
12\cdot0{,}707+5\approx8{,}484+5=13{,}484\neq0.
Para x\approx-0{,}707:
12\cdot(-0{,}707)+5\approx-8{,}484+5=-3{,}484\neq0.
Portanto nenhum dos dois zera o denominador e ambos são raízes válidas da equação y=0.

Passo 6

Interpretação física e escolha da opção: como x representa quantidade de insumo, na prática só faz sentido x\ge0. Assim descartamos a raiz negativa x\approx-0{,}707 e ficamos com x\approx0{,}707. Das opções dadas ( 1,0,4,3), o valor aproximado 0{,}707 está mais próximo de 1 do que de 0. Em provas de múltipla escolha onde se pede “aproximadamente”, escolhe-se a alternativa 1.

Resposta

1

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