Nos exercícios 8 a 27, calcular as derivadas parciais de
ordem.
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Passo 1
Temos a função f(x,y)=e{x2y}. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra da cadeia e, quando necessário, a regra do produto.
Passo 2
Para calcular a derivada parcial em relação a x, f_x, aplicamos a regra da cadeia. Como f=e^u com u=x^2y, temos u_x=2xy, portanto:
Passo 3
Para calcular a derivada parcial em relação a y, f_y, aplicamos a regra da cadeia. Aqui u=x^2y tem derivada u_y=x^2, então:
Passo 4
Para obter f_{xx}, derivamos f_x=2xy,e{x2y} em relação a x. Usamos a regra do produto com u=2xy e v=e{x2y}:
Passo 5
Para calcular as derivadas mistas, f_{xy} e f_{yx}, derivamos f_x e f_y nos eixos opostos.
Para f_{xy}, derivamos f_x=2xy,e{x2y} em relação a y:
Para f_{xy}, derivamos f_x=2xy,e{x2y} em relação a y:
Para f_{yx}, derivamos f_y=x2,e{x^2y} em relação a x:
Observamos que f_{xy}=f_{yx}, conforme esperávamos.
Passo 6
Por fim, para f_{yy}, derivamos f_y=x2,e{x^2y} em relação a y. Como x^2 é constante:
Resposta
f_x=2xy,e{x2y}, f_y=x2,e{x^2y}, f_{xx}=e{x2y}(2y+4x2y2), f_{xy}=f_{yx}=e{x2y}(2x+2x^3y), f_{yy}=x4,e{x^2y}