Nos exercícios 8 a 27, calcular as derivadas parciais de 1^2 ordem.
f(x, y)=e^x^2 y.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e{x2y}. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra da cadeia e, quando necessário, a regra do produto.

Passo 2

Para calcular a derivada parcial em relação a x, f_x, aplicamos a regra da cadeia. Como f=e^u com u=x^2y, temos u_x=2xy, portanto:
fx(x,y)=e^x^2ycdot(2xy)=2xy,e^x^2y

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em relação a y, f_y, aplicamos a regra da cadeia. Aqui u=x^2y tem derivada u_y=x^2, então:
fy(x,y)=e^x^2ycdot(x^2)=x^2,e^x^2y

Passo 4

Para obter f_{xx}, derivamos f_x=2xy,e{x2y} em relação a x. Usamos a regra do produto com u=2xy e v=e{x2y}:
fxx=u'x,v+u,v'x=2y,e^x^2y+2xyl(e^x^2ycdot2xyr)=e^x^2y(2y+4x^2y^2)

Passo 5

Para calcular as derivadas mistas, f_{xy} e f_{yx}, derivamos f_x e f_y nos eixos opostos.
Para f_{xy}, derivamos f_x=2xy,e{x2y} em relação a y:
fxy=2x,e^x^2y+2xyl(e^x^2ycdot x^2r)=e^x^2y(2x+2x^3y)
Para f_{yx}, derivamos f_y=x2,e{x^2y} em relação a x:
fyx=2x,e^x^2y+x^2l(e^x^2ycdot2xyr)=e^x^2y(2x+2x^3y)
Observamos que f_{xy}=f_{yx}, conforme esperávamos.

Passo 6

Por fim, para f_{yy}, derivamos f_y=x2,e{x^2y} em relação a y. Como x^2 é constante:
fyy=x^2l(e^x^2ycdot x^2r)=x^4,e^x^2y

Resposta

f_x=2xy,e{x2y}, f_y=x2,e{x^2y}, f_{xx}=e{x2y}(2y+4x2y2), f_{xy}=f_{yx}=e{x2y}(2x+2x^3y), f_{yy}=x4,e{x^2y}

Exercícios relacionados