Nos Exercícios de 1 a 28, ache d yd x por derivação implícita.
x sen y+y cos x=1

Passo 1

Estamos lidando com derivação implícita da equação xsin y + ycos x = 1. O conteúdo aqui é derivação implícita, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo, xsin y. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Derivada de xsin y:
ddx(xsin y)=1cdot sin y + xcdot (cos y,y')=sin y + xcos y,y'

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo, ycos x. Novamente usamos regra do produto:
Derivada de ycos x:
ddx(ycos x)=y'cos x + ycdot(-sin x)=cos x,y' - ysin x

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero (pois ddx(1)=0), obtemos:
(sin y + xcos y,y') + (cos x,y' - ysin x)=0

Passo 5

Reorganizando os termos que contêm y' de um lado:
xcos y,y' + cos x,y' + sin y - ysin x=0

Passo 6

Isolando y':
(xcos y + cos x),y'=ysin x - sin y

Passo 7

Logo, a derivada implícita é dada por:
y'=ysin x - sin yxcos y + cos x

Resposta

y'=ysin x - sin yxcos y + cos x

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