Nos Exercícios de 1 a 28, ache d yd x por derivação implícita.
xraizy-4 y=x

Passo 1

O enunciado pede para achar dydx na relação implícita xraizy - 4y = x. O conteúdo que vamos usar aqui é diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia para derivar em relação a x.

Passo 2

Primeiro derivamos ambos os lados em relação a x. Note que xraizy = x,y^-1/2, então usando regra do produto e da cadeia:
ddxl(x,y^-1/2r) = 1cdot y^-1/2 + xcdotl(-tfrac12 y^-3/2r)dydx
E também ddx(-4y) = -4dydx e ddx(x)=1

Passo 3

Substituindo essas derivadas na igualdade, obtemos:
y^-1/2 + xl(-tfrac12 y^-3/2r)dydx - 4dydx = 1
Ou seja,
y^-1/2 - x2y^3/2dydx - 4dydx = 1

Passo 4

Agora juntamos todos os termos que têm dydx de um lado:
-dydxl(x2y^3/2 + 4r) = 1 - y^-1/2

Passo 5

Por fim, isolamos dydx e simplificamos:
dydx = y^-1/2 - 1x2y^3/2 + 4
Podemos ainda multiplicar numerador e denominador por 2y^3/2 para obter uma forma mais limpa:
dydx = 2y - 2y^3/2x + 8y^3/2

Resposta

dydx = 2y - 2y^3/2x + 8y^3/2

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