Nos Exercícios de 1 a 28, ache d yd x por derivação implícita.
yraizx-y=2+x^2

Passo 1

A gente tem a equação implícita yraizx-y=2+x^2, o conteúdo aqui é derivação implícita usando a regra do quociente e a derivada de raizx. Vamos derivar os dois lados em relação a x para encontrar y' = dydx.

Passo 2

Definimos u=y e v=raizx-y. Pela regra do quociente,
ddxl(uvr)=u'v - u v'v^2,

Passo 3

onde u'=y' e v'=ddx(raizx) - y' = 12raizx - y'. Então derivando o lado esquerdo:
ddxl(yraizx-yr)=y'(raizx-y) - yl(tfrac12raizx - y'r)(raizx-y)^2

Passo 4

O lado direito 2 + x^2 deriva para 2x. Igualando,
y'(raizx-y) - yl(tfrac12raizx - y'r)(raizx-y)^2=2x

Passo 5

No numerador, distribuímos e agrupamos os termos em y':
y'(raizx-y) - y2raizx + y,y' = y'raizx -y2raizx

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (raizx-y)^2, obtemos
y'raizx - y2raizx = 2x,(raizx-y)^2

Passo 7

Agora isolamos y':
y'raizx = 2x,(raizx-y)^2 + y2raizx,

Passo 8

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y' = 2x,(raizx-y)^2 + tfracy2raizxraizx

Resposta

\displaystyle y’=\frac{2x(\sqrt{x}-y)^2 + \tfrac{y}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x},(\sqrt{x}-y)^2 + \frac{y}{2x}.

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