Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \r
\r
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para achar o raio de convergência , depois verificar o comportamento nos extremos e .
Passo 2
Seja . Aplicando o Teste da Razão aos termos , calculamos\r
\r
O teste diz que a série converge se esse limite for menor que 1, logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Pela conclusão do Teste da Razão, a série converge absolutamente para\r
|x|<1 \r
e diverge para\r
|x|>1
Passo 4
No extremo x=1, a série fica\r
sumn=0^infty1n+1, \r
que é a série harmônica (somatório de tfrac1n+1) e diverge.
Passo 5
No extremo x=-1, a série fica\r
sumn=0^infty(-1)^nn+1 \r
Como 1n+1 é positiva, decrescente e tende a zero, aplica-se o Teste da Série Alternante, garantindo convergência condicional nesse ponto.