Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=0^+infty x^nn+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \r
sumn=0^inftyx^nn+1\r
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para achar o raio de convergência R, depois verificar o comportamento nos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Seja an=1n+1. Aplicando o Teste da Razão aos termos an x^n, calculamos\r
limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinftyl|xr|n+1n+2 =lvert xrvertcdot1 =lvert xrvert \r
O teste diz que a série converge se esse limite for menor que 1, logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Pela conclusão do Teste da Razão, a série converge absolutamente para\r
|x|<1 \r
e diverge para\r
|x|>1

Passo 4

No extremo x=1, a série fica\r
sumn=0^infty1n+1, \r
que é a série harmônica (somatório de tfrac1n+1) e diverge.

Passo 5

No extremo x=-1, a série fica\r
sumn=0^infty(-1)^nn+1 \r
Como 1n+1 é positiva, decrescente e tende a zero, aplica-se o Teste da Série Alternante, garantindo convergência condicional nesse ponto.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1).

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