(1 ponto) NotasDeAulas [2025] (a) Considere a função f(x)=sec (x), calcule por definição a primeira derivada de f. (b) Use uma regra de derivação e encontre a segunda derivada de f.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função !f(x)=sec(x):
– (a) calcular !f'(x) por definição, usando
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
além das identidades trigonométricas necessárias;
– (b) obter !f''(x) usando regras de derivação (produto, cadeia e derivadas de sec e tan).

Passo 2

Aplicamos a definição para !f'(x):
f'(x) =limhto0sec(x+h)-sec(x)h =limhto01cos(x+h)-1cos(x)h =limhto0cos(x)-cos(x+h)h,cos(x+h)cos(x)

Passo 3

Usamos a identidade
cos(x+h)-cos(x)=-2sin!l(x+tfrac h2r),sin!l(tfrac h2r),
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f'(x) =limhto0-2sin!l(x+tfrac h2r)sin!l(tfrac h2r)h,cos(x+h)cos(x) =sin(x)cos(x)cdot1cos(x) =sec(x),tan(x)

Passo 4

Para !f''(x) derivamos !f'(x)=sec(x)tan(x) por produto:
f''(x) =(sec x)',tan x+sec x,(tan x)' =(sec xtan x)tan x+sec xsec^2 x

Passo 5

Agrupando,
f''(x) =sec(x),l(tan^2(x)+sec^2(x)r)

Resposta

(a) f'(x)=sec(x),tan(x)
(b) f''(x)=sec(x),l(tan^2(x)+sec^2(x)r)

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