Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^+infty(-1)^n+1(n+1)x^nn!
O tema é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Identificamos o coeficiente geral da série como
an = (-1)^n+1n+1n!,
de modo que a série é sumn=1^+inftyan x^n.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
|an+1x^n+1anx^n| =|an+1an|;|x| =n+2(n+1)!n+1n!;|x| =n+2(n+1)^2;|x|
Como
limntoinftyn+2(n+1)^2=0,
temos
limntoinfty|an+1x^n+1anx^n|=0<1
para todo xinR.

Passo 4

O resultado do teste da razão mostra que a série converge para qualquer valor de x, isto é, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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