Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em zero
sumn=1^infty(-1)^n+1,x^2n-1(2n-1)!
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Chame o termo geral de
un(x)=(-1)^n+1,x^2n-1(2n-1)!
Aplicando o teste da razão, consideramos
L ;=;limntoinfty|un+1(x)un(x)| =limntoinfty|x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)!;(2n-1)!x^2n-1| =limntoinftyx^2(2n)(2n+1)
Como para todo xinR o denominador cresce sem limite, temos
L=0<1
Pelo teste da razão, a série converge para todo x.

Passo 3

O raio de convergência é R=infty, portanto o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

(-infty,infty)

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