(2,0 pontos) Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem da função a seguir.
f(x, y, z)=4 x^3+1z^2 ln (y z)+raizx^2+y^2+4 cos (y^3 z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=4x^3+1z^2ln(yz)+raizx^2+y^2+4,cos!l(y^3zr)
O conteúdo necessário é derivação parcial, usando:
– regra da soma e constante;
– produto;
– cadeia.

Passo 2

Calculamos partial f/partial x.
  1. partial(4x^3)/partial x=12x^2
  2. partiall(tfrac1z^2ln(yz)r)/partial x=0 (não depende de x).
  3. Para raizx^2+y^2+4,cos(y^3z) tratamos cos(y^3z) como constante e derivamos raizx^2+y^2+4:
partialpartial xraizx^2+y^2+4 =xraizx^2+y^2+4
Logo,
partial fpartial x =12x^2 +cos!l(y^3zr),xraizx^2+y^2+4

Passo 3

Calculamos partial f/partial y.
  1. partial(4x^3)/partial y=0
  2. Para tfrac1z^2ln(yz), temos constante 1/z^2 e
partialpartial yln(yz) =1yzcdot z=1y,
logo contribui com tfrac1y z^2.
3. Para u=raizx^2+y^2+4 e v=cos(y^3z),
partialpartial y(u,v) =u,dvdy+v,dudy
dvdy=-sin(y^3z)cdot3y^2z
dudy=yraizx^2+y^2+4
Assim,
partial fpartial y =1y z^2 +raizx^2+y^2+4,l(-3y^2zsin(y^3z)r) +cos(y^3z),yraizx^2+y^2+4

Passo 4

Calculamos partial f/partial z.
  1. partial(4x^3)/partial z=0
  2. Para a(z)=z^-2 e b(z)=ln(yz),
ddz(a,b) =a',b+a,b' =-2z^-3ln(yz)+z^-2cdot1z =-2ln(yz)z^3+1z^3 =1-2ln(yz)z^3
  1. Para raizx^2+y^2+4,cos(y^3z), u é constante e
ddzcos(y^3z) =-sin(y^3z)cdot y^3
Logo,
partial fpartial z =1-2ln(yz)z^3 -raizx^2+y^2+4;y^3sinl(y^3zr)

Resposta

partial fpartial x =12x^2 +xraizx^2+y^2+4;cos!l(y^3zr),
partial fpartial y =1y,z^2 -3y^2z,raizx^2+y^2+4;sin!l(y^3zr) +yraizx^2+y^2+4;cos!l(y^3zr),
partial fpartial z =1-2ln(yz)z^3 -y^3,raizx^2+y^2+4;sin!l(y^3zr)

Exercícios relacionados