Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=2^infty(-1)^n+1,x^nn(ln n)^2
Para isso precisamos (1) encontrar o raio de convergência R e (2) testar o comportamento em x=1 e em x=-1.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz: seja
an = (-1)^n+1n(ln n)^2,
então
limsupntoinftyl|anr|^1/n =limntoinftyl(1n(ln n)^2r)^1/n =1
Logo o raio é R=1, e a série converge (pelo menos) para -1<x<1.

Passo 3

Em x=1 a série vira
sumn=2^infty(-1)^n+1,1n(ln n)^2
Como 1n(ln n)^2 é decrescente e tende a zero, ela converge por critério de Leibniz.
Além disso, o teste da integral mostra convergência absoluta:
integral2^inftydxx(ln x)^2 =l[-tfrac1ln xr]2^infty =1ln 2<infty,
logo sum1/l(n(ln n)^2r) converge e a série em x=1 converge absolutamente.

Passo 4

Em x=-1 temos
(-1)^n+1(-1)^n =(-1)^2n+1=-1,
então a série é
-sumn=2^infty1n(ln n)^2,
que converge absolutamente pelo mesmo teste da integral acima. Portanto a série converge em x=-1.

Resposta

A série converge para todo x com
-1<= x<= 1,
isto é, o intervalo de convergência é l[-1,1r].

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