Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
Para isso precisamos (1) encontrar o raio de convergência
e (2) testar o comportamento em
e em
.
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz: seja
então
Logo o raio é
R=1 , e a série converge (pelo menos) para
-1<x<1 .
Passo 3
Em
x=1 a série vira
Como
1n(ln n)^2 é decrescente e tende a zero, ela converge por critério de Leibniz.
Além disso, o teste da integral mostra convergência absoluta:
Além disso, o teste da integral mostra convergência absoluta:
logo
sum1/l(n(ln n)^2r) converge e a série em
x=1 converge absolutamente.
Passo 4
Em
x=-1 temos
então a série é
que converge absolutamente pelo mesmo teste da integral acima. Portanto a série converge em
x=-1 .
Resposta
A série converge para todo
x com
isto é, o intervalo de convergência é
l[-1,1r] .