I8. Encontre o comprimento da curva

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y=integral1^xraizraizt-1,dt, 1<= x<=16
Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x):
L=integrala^braiz1+(y')^2,dx

Passo 2

Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada de
y=integral1^xraizraizt-1,dt
é
y'=raizraizx-1

Passo 3

Substituindo em
L=integral1^16raiz1+(y')^2,dx,
temos
L=integral1^16raiz1+l(raizraizx-1r)^2,dx

Passo 4

Como em [1,16] vale raizx>=1, temos raizx-1>=0 e
l(raizraizx-1r)^2=raizx-1. Logo
raiz1+(raizx-1)=raizraizx=x^1/4
Portanto
L=integral1^16x^1/4,dx

Passo 5

Integramos:
integral x^1/4,dx=x^5/45/4=45,x^5/4
Logo
L=45x^5/4|1^16 =45l(16^5/4-1^5/4r) =45(32-1) =1245

Resposta

1245

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