Encontre as constantes

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x^3, &se x<=2, a x^2+b, &se x>2
e pede que ela seja contínua em toda a reta. O ponto crítico é x=2, onde as duas definições se encontram.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=2, precisamos que
  1. o valor à esquerda em 2 (ramo x<=2) coincida com
  2. o valor à direita em 2 (ramo x>2).
    Em outras palavras,
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)

Passo 3

Calculemos a parte à esquerda em x=2:
limxto2^-f(x)=f(2)=2^3=8

Passo 4

Agora a parte à direita em x=2:
limxto2^+f(x)=limxto2^+l(a,x^2+br)=acdot2^2+b=4a+b

Passo 5

Igualando as duas expressões para garantir continuidade, temos
4a + b = 8
Essa é a única condição que a e b devem satisfazer para f ser contínua em 2.

Resposta

O par (a,b) é qualquer ponto que satisfaça
b = 8 - 4a

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