Nos exercícios 29 e 30 resolva o PVI.
. Este PVI terá mais de uma solução. Isso contradiz o Teorema da Existência e Unicidade?
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pergunta por todas as soluções e se isso contraria o Teorema de Existência e Unicidade.
Este tipo de equação é da classe de Clairaut, onde se escreve
Este tipo de equação é da classe de Clairaut, onde se escreve
com
. Vamos usar a teoria de equações de Clairaut.
Passo 2
Na equação de Clairaut genérica
, a solução geral é
onde
é constante e o “pente”
fica
. Aqui
, logo a família geral é
Passo 3
Para impor
na solução geral, fazemos
Multiplicando tudo por
obtemos o polinômio
Fatorando, achamos raízes
e
(dupla). Assim surgem duas soluções distintas da família geral:
Passo 4
Além da solução geral, a equação de Clairaut tem solução singular dada pelo envelope, obtida de
Então
e
Para
isso dá
, ou seja, a singular também passa por
. Chamemos-na
.
Passo 5
Concluímos que há três soluções que satisfazem o PVI:
Isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade porque a equação não está na forma explícita
e, em particular, na região das soluções cujo “pente” faz
falha o teste da função implícita. Logo a unicidade não é garantida.
Resposta
As três soluções do PVI são
e isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade, pois a equação não é explicitada em
em toda vizinhança do ponto dado.