Nos exercícios 29 e 30 resolva o PVI.
y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{-2}, y(-2)=3. Este PVI terá mais de uma solução. Isso contradiz o Teorema da Existência e Unicidade?

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y = x\,y' + \bigl(y'\bigr)^{-2},\qquad y(-2)=3
e pergunta por todas as soluções e se isso contraria o Teorema de Existência e Unicidade.
Este tipo de equação é da classe de Clairaut, onde se escreve
y = x\,p + \varphi(p),\quad p=y',
com \varphi(p)=p^{-2}. Vamos usar a teoria de equações de Clairaut.

Passo 2

Na equação de Clairaut genérica y = x\,p + \varphi(p), a solução geral é
y = C\,x + \varphi\text{(C)},
onde C é constante e o “pente” p fica p=C. Aqui \varphi\text{(C)}=C^{-2}, logo a família geral é
y = C\,x + C^{-2},\qquad y'=C.

Passo 3

Para impor y(-2)=3 na solução geral, fazemos
3 = C\cdot(-2) + C^{-2} \quad\Longrightarrow\quad -2C + C^{-2} - 3 = 0.
Multiplicando tudo por C^2 obtemos o polinômio
2C^3 + 3C^2 - 1 = 0.
Fatorando, achamos raízes C=\tfrac12 e C=-1 (dupla). Assim surgem duas soluções distintas da família geral:
y_1(x) = \tfrac12\,x + 4, \qquad y_2(x) = -\,x + 1.

Passo 4

Além da solução geral, a equação de Clairaut tem solução singular dada pelo envelope, obtida de
\frac{d}{dp}\bigl[x\,p + p^{-2}\bigr]=0 \quad\Longrightarrow\quad x - 2p^{-3}=0 \quad\Longrightarrow\quad p^3 = \frac{2}{x}.
Então p = \bigl(2/x\bigr)^{1/3} e
y = x\,p + p^{-2} = x\,(2/x)^{1/3} + (2/x)^{-2/3} = 3\,2^{-2/3}\,x^{2/3}.
Para x=-2 isso dá y=3, ou seja, a singular também passa por (-2,3). Chamemos-na y_3(x).

Passo 5

Concluímos que há três soluções que satisfazem o PVI:
y_1(x)=\tfrac12x+4,\quad y_2(x)=-x+1,\quad y_3(x)=3\,2^{-2/3}\,x^{2/3}.
Isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade porque a equação não está na forma explícita y'=f(x,y) e, em particular, na região das soluções cujo “pente” faz F_p=0 falha o teste da função implícita. Logo a unicidade não é garantida.

Resposta

As três soluções do PVI são
y_1(x)=\tfrac12x+4,\quad y_2(x)=-x+1,\quad y_3(x)=3\,2^{-2/3}\,x^{2/3},
e isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade, pois a equação não é explicitada em y'=f(x,y) em toda vizinhança do ponto dado.

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