identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x e^{x y}+1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^{2}+y^{2})\,dx + \bigl(xe^{xy}+1\bigr)\,dy = 0
e pede para identificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos lembrar que, para
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
ser exata é preciso ter
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}\,.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^{2}+y^{2} \quad\text{e}\quad N(x,y) = x e^{xy} + 1.
Então
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe^{xy}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}(1) = e^{xy} + x\,y\,e^{xy} = e^{xy}(1 + x y).

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y \quad\neq\quad e^{xy}(1 + x y) = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos agora um fator integrante \mu que torne a equação exata. Primeiro testamos \mu=\mu(x), usando
\frac{1}{N}\biggl(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\biggr) \stackrel{?}{=} \frac{d\ln\mu}{dx}\,.
Calcula-se
\frac{2y - e^{xy}(1+xy)}{x e^{xy} + 1},
que depende também de y, logo não é função só de x.
Em seguida testamos \mu=\mu(y), usando
\frac{1}{M}\biggl(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\biggr) \stackrel{?}{=} \frac{d\ln\mu}{dy}\,,
e obtemos
\frac{e^{xy}(1+xy) - 2y}{x^{2} + y^{2}},
que depende também de x, logo não é função só de y.
Tentativas mais gerais (como \mu(xy) ou \mu=x^{a}y^{b}) também falham em isolar a dependência em uma única variável.

Passo 5

Concluímos que não existe um fator integrante elementar que dependa apenas de x ou apenas de y. Portanto não é possível resolver esta equação pelo método de exatas (nem com fator integrante padrão).

Resposta

A equação não é exata e não admite fator integrante simples em x ou em y, de modo que não pode ser resolvida pelo método de equações diferenciais exatas.

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