Nos exercícios 29-32, esboce o gráfico de cada função f(x) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann \Sigma_{k=1}^{4} f\left(c_{k}\right) \Delta x_{k}
f(x)=\operatorname{sen} x, \quad[-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=\operatorname{sen} x em [-\pi,\pi], dividir esse intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento e, em seguida, acrescentar ao esboço os quatro retângulos correspondentes à soma de Riemann
\sum_{k=1}^{4}f(c_k)\,\Delta x_k.
Aqui o conteúdo é a construção geométrica da soma de Riemann usando retângulos de largura \Delta x_k e altura f(c_k).

Passo 2

Vamos dividir [-\pi,\pi] em quatro subintervalos iguais. O comprimento total é 2\pi, logo cada subintervalo tem largura
\Delta x = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
Os subintervalos são:
I_1 = [-\pi,\,-\tfrac{\pi}{2}],\quad I_2 = [-\tfrac{\pi}{2},\,0],\quad I_3 = [0,\,\tfrac{\pi}{2}],\quad I_4 = [\tfrac{\pi}{2},\,\pi].

Passo 3

Para definir os retângulos, escolhemos em cada I_k o ponto médio
c_1 = -\tfrac{3\pi}{4},\; c_2 = -\tfrac{\pi}{4},\; c_3 = \tfrac{\pi}{4},\; c_4 = \tfrac{3\pi}{4}.
Então
f(c_1)=\operatorname{sen}\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}{2},\quad f(c_2)=\operatorname{sen}\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}{2},
f(c_3)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad f(c_4)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 4

Esboce o gráfico de \operatorname{sen} x em [-\pi,\pi]: começa em \operatorname{sen}(-\pi)=0, atinge -1 em -\tfrac{\pi}{2}, volta a 0 em 0, chega a +1 em \tfrac{\pi}{2} e retorna a 0 em \pi.
Em seguida, em cada subintervalo I_k trace um retângulo de base \Delta x=\tfrac{\pi}{2} e altura f(c_k), isto é:
– No primeiro e segundo retângulo I_1 e I_2 a altura é negativa -\tfrac{\sqrt2}{2}, então os retângulos ficam abaixo do eixo x.
– No terceiro e quarto I_3 e I_4 a altura é +\tfrac{\sqrt2}{2}, ficando acima do eixo.

Passo 5

Se você somar as áreas orientadas desses retângulos, obtém
\sum_{k=1}^{4}f(c_k)\,\Delta x =\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)\!\times\!\frac{\pi}{2} =0.

Resposta

Esquema final:
– Gráfico de \operatorname{sen} x em [-\pi,\pi] com os picos em \pm\tfrac{\pi}{2}.
– Quatro retângulos de largura \tfrac{\pi}{2} e alturas
-\tfrac{\sqrt2}{2},\,-\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2}.
O valor da soma de Riemann é zero, pois as áreas positivas e negativas se cancelam.

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