Determine o conjunto dos pontos de de continuidade das funções definidas por.
h(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado define
h(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o conjunto de pontos onde h é contínua.
Conteúdo: continuidade de funções de duas variáveis. Vamos verificar (i) pontos fora da origem e (ii) continuidade em (0,0).

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então \sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 e
h(x,y)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo. Logo h é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0), precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Usando coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{r} =r\cos^{2}\theta.
Como \lvert r\cos^{2}\theta\rvert \le r e r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y) =0 =h(0,0).
Portanto h é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto de continuidade de h é \mathbb{R}^{2}.

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