Sejam \mathbf{u}=\langle 2, \alpha\rangle e \mathbf{v}=\langle 3,5\rangle. Encontre \alpha tal que:
(a) \mathbf{u} e \mathbf{v} sejam paralelos
(b) \mathbf{u} e \mathbf{v} sejam ortogonais
(c) O ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} seja \pi / 3

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os vetores \mathbf{u}=\langle 2,\alpha\rangle e \mathbf{v}=\langle 3,5\rangle.
Conteúdo: iremos usar as condições de
– paralelismo (componentes proporcionais),
– ortogonalidade (produto escalar nulo),
– ângulo entre vetores (fórmula do cosseno).

Passo 2

Para que \mathbf{u} e \mathbf{v} sejam paralelos, deve existir escalar k tal que
\langle 2,\alpha\rangle = k\langle 3,5\rangle.
Isto implica
2 = 3k \quad\text{e}\quad \alpha = 5k.
Da primeira igualdade k = \tfrac{2}{3}. Logo
\alpha = 5\cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}.

Passo 3

Para que \mathbf{u} e \mathbf{v} sejam ortogonais, exigimos
\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = 0.
Calculando o produto escalar,
\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = 2\cdot 3 + \alpha\cdot 5 = 6 + 5\alpha = 0
de onde
\alpha = -\frac{6}{5}.

Passo 4

Para que o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} seja \pi/3, usamos
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|} = \frac{6+5\alpha}{\sqrt{4+\alpha^2}\,\sqrt{34}} = \frac{1}{2}.
Isolando e elevando ao quadrado, obtemos
\frac{(6+5\alpha)^2}{(4+\alpha^2)\,34} = \frac{1}{4} \;\Longrightarrow\; 4(6+5\alpha)^2 = 34(4+\alpha^2).

Passo 5

Expandindo e rearranjando resulta a equação quadrática
33\alpha^2 + 120\alpha + 4 = 0.
O discriminante é
\Delta = 120^2 - 4\cdot 33\cdot 4 = 68^2\cdot 3,
logo as raízes são
\alpha = \frac{-120 \pm 68\sqrt{3}}{66} = \frac{-60 \pm 34\sqrt{3}}{33}.
Como \theta=\pi/3 implica \cos\theta>0, precisamos de 6+5\alpha>0. Destas duas raízes, só
\alpha = \frac{-60 + 34\sqrt{3}}{33}
satisfaz 6+5\alpha>0.

Resposta

a) \displaystyle \frac{10}{3}
b) \displaystyle -\frac{6}{5}
c) \displaystyle \frac{-60 + 34\sqrt{3}}{33}

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