Sejam
e
. Encontre
tal que:
(a)
sejam paralelos
(b)
e
sejam ortogonais
(c) O ângulo entre
e
seja
(a)
(b)
(c) O ângulo entre
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos os vetores
e
.
Conteúdo: iremos usar as condições de
– paralelismo (componentes proporcionais),
– ortogonalidade (produto escalar nulo),
– ângulo entre vetores (fórmula do cosseno).
Conteúdo: iremos usar as condições de
– paralelismo (componentes proporcionais),
– ortogonalidade (produto escalar nulo),
– ângulo entre vetores (fórmula do cosseno).
Passo 2
Para que
e
sejam paralelos, deve existir escalar
tal que
Isto implica
Da primeira igualdade
. Logo
Passo 3
Para que
e
sejam ortogonais, exigimos
Calculando o produto escalar,
de onde
Passo 4
Para que o ângulo
entre
e
seja
, usamos
Isolando e elevando ao quadrado, obtemos
Passo 5
Expandindo e rearranjando resulta a equação quadrática
O discriminante é
logo as raízes são
Como
implica
, precisamos de
. Destas duas raízes, só
satisfaz
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)