Verifique se os limites abaixo existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x y}{x+y-3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x\,y}{x+y-3}.
O tema é limite de função de duas variáveis e lembra que, para existir limite finito L, o valor de f(x,y) deve tender a L por qualquer caminho de aproximação a (1,2).

Passo 2

Observe que em (1,2) o denominador se anula:
1+2-3=0,
logo a função
f(x,y)=\frac{x\,y}{x+y-3}
fica descontrolada perto de (1,2). Para mostrar que não há limite único, basta encontrar duas aproximações que levem a comportamentos diferentes.

Passo 3

Escolhemos primeiro aproximar ao longo da reta y=2. Então
f(x,2)=\frac{x\cdot 2}{x+2-3}=\frac{2x}{x-1}.
Ao fazermos x\to1^+, temos x-1>0 muito pequeno, logo
f(x,2)\to +\infty.
Já para x\to1^-, x-1<0 e
f(x,2)\to -\infty.

Passo 4

Como mesmo caminho y=2 mas aproximando-se por x\to1^+ +\infty e por x\to1^- -\infty, não existe um valor único (nem mesmo \pm\infty) para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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