Nos exercícios 29-36, faça uma substituição apropriada e depois uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.
integralln (3 / 4)^ln (d / 3) e^prime d t(1+e^2 t)^3 / 2

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida
integralln(3/4)^ln(d/3) e^t,dtl(1+e^2tr)^3/2
O conteúdo é técnica de substituição u = e^t e depois sub trigonométrica para resolver integral du/(1+u^2)^3/2.

Passo 2

Fazendo a primeira substituição. Definimos u = e^t, logo du = e^t,dt. Os limites em t viram em u:
  • se t=ln(3/4), então u=3/4,
  • se t=ln(d/3), então u=d/3.
    A integral passa a ser
integralu=3/4^u=d/3 dul(1+u^2r)^3/2

Passo 3

Agora fazemos a substituição trigonométrica. Como temos 1+u^2, escolhemos u=tantheta. Daí du=sec^2theta,dtheta e 1+u^2=sec^2theta. Substituindo,
integral du(1+u^2)^3/2 = integral sec^2theta,dtheta(sec^2theta)^3/2 = integral sec^2thetasec^3theta,dtheta = integral costheta,dtheta
Os novos limites: quando u=3/4, theta=arctan(3/4); quando u=d/3, theta=arctan(d/3).

Passo 4

Integramos costheta:
integralarctan(3/4)^arctan(d/3) costheta,dtheta = l[sinthetar]arctan(3/4)^arctan(d/3) = sinl(arctan(d/3)r) - sinl(arctan(3/4)r)
Para voltar a u ou direto a d: sabemos que sin(arctan x)=x/raiz1+x^2. Então
sinl(arctan(d/3)r)=d/3raiz1+(d/3)^2=draizd^2+9,
sinl(arctan(3/4)r)=3/4raiz1+(3/4)^2=3/45/4=35

Passo 5

Subtraindo, obtemos a resposta final:
draizd^2+9 - 35

Resposta

draizd^2+9 - 35

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