Resolva as equações diferenciais.
Note que a equação 2 y^prime+y=1 não está na forma d(u v)d x=d ud x v+u cdot d vd x^prime, no entanto, se multiplicarmos a equação por e^2 x ela passar a ser
2 e^2 x cdot y^prime+e^2 x y=e^2 x

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo 2 y' + y = 1. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é y' + P(x)y = Q(x). Para isso, dividimos todos os termos por 2:
y' + 12 y = 12

Passo 3

Agora, identificamos P(x) e Q(x) na equação:
P(x) = 12 e Q(x) = 12

Passo 4

Vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 12 dx = e^12x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = e^12x:
e^12x y' + e^12x cdot 12 y = e^12x cdot 12

Passo 6

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(x)y:
ddx( e^12x y ) = 12 e^12x

Passo 7

Integrando ambos os lados com relação a x:
e^12x y = integral 12 e^12x dx + C
e^12x y = e^12x + C

Passo 8

Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^12x:
y = 1 + C e^-12x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1 + C e^-12x

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