Em um navio-petroleiro um tanque sofreu uma ruptura e passou a derramar óleo que se espalhou em uma forma circular, cujo raio cresce a uma taxa de
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Determine a taxa de variação da área do derramamento no instante em que o raio atinge 60 m .
Determine a taxa de variação da área do derramamento no instante em que o raio atinge 60 m .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um navio petroleiro que está vazando óleo, formando uma mancha circular que está aumentando de tamanho. O raio dessa mancha está crescendo a uma taxa de 2 metros por hora. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a área dessa mancha está aumentando quando o raio chega a 60 metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui, $ A $ é a área e $ r $ é o raio do círculo. Como o raio está mudando com o tempo, a área também vai mudar com o tempo.
Passo 3
Queremos saber como a área $ A $ está mudando em relação ao tempo $ t $. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Isso significa que vamos encontrar a taxa de variação de $ A $ em relação a $ t $, que é representada por $ \frac{dA}{dt} $.
Passo 4
Aplicando a regra da potência na derivada, temos:
Aqui, $ \frac{dr}{dt} $ é a taxa de variação do raio, que segundo o enunciado, é $ 2 , m/h $.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Quando $ r = 60 , m $ e $ \frac{dr}{dt} = 2 , m/h $:
Passo 6
Fazendo as contas:
Isso significa que a área da mancha de óleo está aumentando a uma taxa de $ 240\pi , metros quadrados por hora $ quando o raio chega a 60 metros.
Resposta
A taxa de variação da área do derramamento quando o raio atinge 60 metros é $ 240\pi , m^2/h $.