Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no padrão padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, multiplicamos toda a equação original por $ x^{2} $ para eliminar o $ x^{-2} $:
Simplificando, temos:
Agora, a equação está no formato padrão, onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) = -2 x^{-1} $:
Lembrando que $ e{\ln|x|{k}} = |x|^{k} $, então:
Como $ x $ está no denominador elevado a uma potência par, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pela $ \mu(x) $:
Observe que isso iguala ao que tínhamos inicialmente. Agora, a equação pode ser reescrita como:
Ou seja:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, integremos ambos os lados em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Distribuindo $ x^{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante qualquer.