Resolva as equações diferenciais.
x^-2 d yd x-2 x^-3 y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
x^-2 dydx - 2 x^-3 y = 1
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no padrão padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Para isso, multiplicamos toda a equação original por $ x^{2} $ para eliminar o $ x^{-2} $:
x^2
Simplificando, temos:
x^-2
Agora, a equação está no formato padrão, onde:
x^2 cdot x^-2 dydx - 2 x^2 cdot x^-3 y = x^2 cdot 1
dydx - 2 x^-1 y = x^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -2 x^{-1} $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Lembrando que $ e{\ln|x|{k}} = |x|^{k} $, então:
P(x) = -2 x^-1
Como $ x $ está no denominador elevado a uma potência par, podemos simplificar para:
mu(x) = e^integral -2 x^-1 dx = e^-2 ln|x|

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pela $ \mu(x) $:
mu(x)
Observe que isso iguala ao que tínhamos inicialmente. Agora, a equação pode ser reescrita como:
x^-2 dydx - 2 x^-3 y = x^0
Ou seja:
ddx (y cdot mu(x)) = Q(x) cdot mu(x)
Simplificando o lado direito:
ddx (y cdot x^-2) = x^-2 cdot x^2

Passo 5

Agora, integremos ambos os lados em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplifica para:
integral ddx (y cdot x^-2) dx = integral 1 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y
Distribuindo $ x^{2} $:
y = x^2 (x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^3 + C x^2
Onde $ C $ é uma constante qualquer.

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