Nos Exercícios de 31 a 34, ache a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto indicado. Use a fórmula do Exercício 30 para achar K. r=4 \cos 2 \theta ; \theta=\frac{1}{12} \pi
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 4\cos(2\theta)
e pede a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto \theta = \tfrac{\pi}{12}. O conteúdo aqui é “curvatura de curva em coordenadas polares” e vamos usar a fórmula do Exercício 30.
Passo 2
A fórmula da curvatura para uma curva polar r(\theta) é
K \;=\;\frac{\bigl|\,r^2 + 2\,(r')^2 \;-\; r\,r''\bigr|}{\bigl(r^2 + (r')^2\bigr)^{3/2}},
onde r' = \tfrac{dr}{d\theta} e r'' = \tfrac{d^2r}{d\theta^2}.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas gerais:
r(\theta) = 4\cos(2\theta)
r'(\theta) = -8\sin(2\theta)
r''(\theta) = -16\cos(2\theta)
Passo 4
Agora avaliamos em \theta = \tfrac{\pi}{12}. Note que 2\theta = \tfrac{\pi}{6}, em que \cos(\tfrac{\pi}{6}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{6}) = \tfrac12. Logo