Nos Exercícios de 31 a 34, ache a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto indicado. Use a fórmula do Exercício 30 para achar K.
r=4 \cos 2 \theta ; \theta=\frac{1}{12} \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 4\cos(2\theta)
e pede a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto \theta = \tfrac{\pi}{12}. O conteúdo aqui é “curvatura de curva em coordenadas polares” e vamos usar a fórmula do Exercício 30.

Passo 2

A fórmula da curvatura para uma curva polar r(\theta) é
K \;=\;\frac{\bigl|\,r^2 + 2\,(r')^2 \;-\; r\,r''\bigr|}{\bigl(r^2 + (r')^2\bigr)^{3/2}},
onde r' = \tfrac{dr}{d\theta} e r'' = \tfrac{d^2r}{d\theta^2}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas gerais:
r(\theta) = 4\cos(2\theta)
r'(\theta) = -8\sin(2\theta)
r''(\theta) = -16\cos(2\theta)

Passo 4

Agora avaliamos em \theta = \tfrac{\pi}{12}. Note que 2\theta = \tfrac{\pi}{6}, em que \cos(\tfrac{\pi}{6}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{6}) = \tfrac12. Logo
r\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)=4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},
r'\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)=-8\cdot\tfrac12=-4,
r''\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)=-16\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=-8\sqrt{3}.

Passo 5

Calculamos o numerador da fórmula:
r^2 + 2(r')^2 - r\,r'' = (2\sqrt{3})^2 + 2\cdot(-4)^2 - (2\sqrt{3})(-8\sqrt{3}) =12 + 2\cdot16 + 48 =12 + 32 + 48 =92.

Passo 6

Agora o denominador:
\bigl(r^2 + (r')^2\bigr)^{3/2} = \bigl( (2\sqrt{3})^2 + (-4)^2 \bigr)^{3/2} = (12 + 16)^{3/2} =28^{3/2} =28\sqrt{28} =56\sqrt{7}.

Passo 7

Substituindo em K:
K = \frac{92}{56\sqrt{7}} = \frac{23}{14\sqrt{7}}.

Passo 8

O raio de curvatura é \rho = 1/K, portanto
\rho = \frac{14\sqrt{7}}{23}.

Resposta

K = \displaystyle \frac{23}{14\sqrt{7}},\qquad \rho = \displaystyle \frac{14\sqrt{7}}{23}.

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