Nos Exercícios de 31 a 34, ache a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto indicado. Use a fórmula do Exercício 30 para achar K.
r=1-\operatorname{sen} \theta ; \theta=0

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r(\theta)=1-\sin\theta
e pede a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto \theta=0.
O conteúdo é geometria diferencial de curvas planas em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula (do Exercício 30)
K(\theta) = \frac{\bigl|\,r^2+2(r')^2 - r\,r''\bigr|}{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{3/2}}
e depois \rho=1/K.

Passo 2

Calculamos as derivadas de r:
r'(\theta)=\frac{dr}{d\theta}=-\cos\theta, \qquad r''(\theta)=\frac{d^2r}{d\theta^2}=\sin\theta.

Passo 3

Substituindo em
N(\theta)=r^2+2(r')^2 - r\,r'', \qquad D(\theta)=\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{3/2},
temos primeiro
r^2=(1-\sin\theta)^2,\quad 2(r')^2=2\cos^2\theta, \quad r\,r''=(1-\sin\theta)\sin\theta.
Logo
N(\theta) =(1-\sin\theta)^2+2\cos^2\theta-(1-\sin\theta)\sin\theta =3(1-\sin\theta).
E
r^2+(r')^2=(1-\sin\theta)^2+\cos^2\theta=2(1-\sin\theta),
D(\theta)=\bigl[2(1-\sin\theta)\bigr]^{3/2}=2^{3/2}(1-\sin\theta)^{3/2}.
Portanto
K(\theta) =\frac{3(1-\sin\theta)}{2^{3/2}(1-\sin\theta)^{3/2}} =\frac{3}{2^{3/2}\sqrt{\,1-\sin\theta\,}}.

Passo 4

No ponto \theta=0 tem-se \sin0=0, logo
K(0)=\frac{3}{2^{3/2}\,\sqrt{1}}=\frac{3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{4}.
E o raio de curvatura é
\rho(0)=\frac1{K(0)}=\frac{2\sqrt2}{3}.

Resposta

K(0)=\displaystyle \frac{3\sqrt2}{4},\quad \rho(0)=\displaystyle \frac{2\sqrt2}{3}.

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