Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<=1,
inverter a ordem de integração da integral
integral0^1integraly^1x^2e^xy,dx,dy
e finalmente calculá-la. O conteúdo principal é integração dupla, mudança de ordem de integração e cálculo de integrais envolvendo exponenciais.

Passo 2

Para esboçar D, note que em cada yin[0,1] o x vai de x=y até x=1. No plano xy isso é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), limitado pelas retas y=0, x=1 e x=y.

Passo 3

Para inverter a ordem, isolamos x primeiro: na região D, x varia de 0 até 1 e, para cada x, y varia de 0 até x. Logo a integral vira
integralx=0^1integraly=0^xx^2e^xy,dy,dx

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
integral0^xx^2e^xy,dy =x^2integral0^xe^xy,dy =x^2l[1xe^xyr]y=0^y=x =x^2l(e^x^2-1xr) =xl(e^x^2-1r)

Passo 5

Substituindo na integral em x:
integral0^1xl(e^x^2-1r),dx =integral0^1x e^x^2,dx-integral0^1x,dx
Para a primeira peça, use a substituição u=x^2:
integral0^1x e^x^2,dx =12integral0^1e^u,du =12(e-1)
E para a segunda:
integral0^1x,dx=12
Assim o valor total é
12(e-1)-12 =e-22

Resposta

e-22

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