Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
inverter a ordem de integração da integral
e finalmente calculá-la. O conteúdo principal é integração dupla, mudança de ordem de integração e cálculo de integrais envolvendo exponenciais.
Passo 2
Para esboçar
, note que em cada
o
vai de
até
. No plano
isso é o triângulo com vértices em
,
e
, limitado pelas retas
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, isolamos
primeiro: na região
,
varia de
até
e, para cada
,
varia de
até
. Logo a integral vira
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Passo 5
Substituindo na integral em
:
Para a primeira peça, use a substituição
:
E para a segunda:
Assim o valor total é