Nos exercícios 31a) → 31f), encontre d yd x em cada uma das equações que, implicitamente, definem y como função de x.
raizx y=1+x^2 y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
raizx,y = 1 + x^2y
e pede dfracdydx. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita usando regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Reescrevendo raizx,y = (x,y)^1/2, aplicamos a derivada no lado esquerdo:
ddx(x,y)^1/2 = tfrac12,(x,y)^-1/2,ddx(x,y) = 12raizx,yl(xtfracdydx + yr)

Passo 3

No lado direito, derivamos 1 + x^2y por x usando regra do produto em x^2y:
ddxl(1 + x^2yr) = 0 + l(2x,y + x^2tfracdydxr)

Passo 4

Igualando as duas derivadas, vem
12raizx,yl(xtfracdydx + yr) = 2x,y + x^2tfracdydx
Multiplicando ambos os lados por 2raizx,y, obtemos
xtfracdydx + y = (2x,y + x^2tfracdydx),2raizx,y = 4x,yraizx,y + 2x^2raizx,y,tfracdydx

Passo 5

Agrupando os termos com tfracdydx e isolando:
xtfracdydx - 2x^2raizx,y,tfracdydx = 4x,yraizx,y - y,
tfracdydxl(x - 2x^2raizx,yr) = 4x,yraizx,y - y,
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tfracdydx = 4x,yraizx,y - y,x - 2x^2raizx,y, = yl(4xraizx,y-1r)xl(1-2xraizx,yr)

Resposta

dydx = yl(4xraizx,y-1r)xl(1-2xraizx,yr)

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