Nos exercícios 31a) → 31f), encontre d yd x em cada uma das equações que, implicitamente, definem y como função de x.
x y=cotg(x y)

Passo 1

O enunciado dá a equação
x cdot y = cot(x cdot y)
e pede dydx. O conteúdo necessário é diferenciação implícita, aplicação da regra do produto e derivada de cot(u).

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. Para o lado esquerdo, usando regra do produto:
ddx(x cdot y) = y + x cdot dydx
Para o lado direito, com u = x cdot y:
ddx[cot(u)] = -csc^2(u) cdot dudx = -csc^2(x cdot y) cdot l(y + x cdot tfracdydxr)

Passo 3

Igualando as derivadas e reorganizando termos:
y + x cdot dydx = -csc^2(x cdot y) cdot l(y + x cdot tfracdydxr) Longrightarrow l(y + x cdot tfracdydxr)l(1 + csc^2(x cdot y)r) = 0

Passo 4

Como 1 + csc^2(x cdot y) neq 0 para todo x cdot y, segue
y + x cdot dydx = 0 Longrightarrow dydx = -yx

Resposta

dydx = -yx

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