Resolva os seguintes problemas
y^prime+y=f(t) y(0)=5 f(t)=l3 sin t, t >= pi 0,0 <= t<pi

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
O objetivo é resolver em cada intervalo usando fator integrante e fazer a “cola” em (t=\pi].

Passo 2

Para 0 <= t < pi temos f(t)=0, então a equação é homogênea
y' + y = 0
A solução geral é
y(t)=C e^-t
Usando y(0)=5 obtemos C=5. Portanto, para 0 <= t<pi
y(t)=5e^-t

Passo 3

Para t>= pi a equação vira
y' + y = 3sin t
O fator integrante é mu(t)=e^t. Multiplicando toda a equação por e^t obtemos
l(y e^tr)' = 3e^tsin t
Integramos:
integral 3e^tsin t,dt =3integral e^tsin t,dt =tfrac32,e^t(sin t-cos t)+C1,
pois integral e^tsin t,dt=tfrac12e^t(sin t-cos t). Logo
y e^t =tfrac32,e^t(sin t-cos t)+K,
e portanto
y(t)=tfrac32(sin t-cos t)+K e^-t (t>=pi)

Passo 4

Impondo continuidade em t=pi:
y(pi^-)=5e^-pi Longrightarrow y(pi^+)=5e^-pi
Substituindo na expressão de y(t) para t>=pi:
5e^-pi =tfrac32l(sinpi-cospir)+K e^-pi =tfrac32(0-(-1))+K e^-pi =tfrac32+K e^-pi
Logo
K e^-pi=5e^-pi-tfrac32 Longrightarrow K=5-tfrac32,e^pi

Passo 5

Reunindo a solução em forma de função pedaço–a–pedaço:
Para 0<= t<pi
y(t)=5e^-t,
e para t>=pi
y(t) =tfrac32(sin t-cos t) +l(5-tfrac32e^pir)e^-t

Resposta

y(t)= 5e^-t, & 0<= t<pi, 32(sin t - cos t) + l(5 - 32e^pir)e^-t, & t >= pi

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