Nos exercícios 31a) → 31f), encontre d yd x em cada uma das equações que, implicitamente, definem y como função de x.
4 cos x sen y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
4cos xsin y = 1
e pede dydx. O conteúdo aqui é a diferenciação implícita, usando as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados em relação a x:
ddxl(4cos xsin yr) = ddx(1) = 0
Como 4 é constante, fica
4,ddx(cos xsin y)=0

Passo 3

Para ddx(cos xsin y) usamos a regra do produto: se u=cos x e v=sin y, então
ddx(u,v) = u',v + u,v'
Aqui u' = -sin x e v' = cos y,dydx pela regra da cadeia.

Passo 4

Substituindo,
4l(-sin xsin y + cos x,cos y,dydxr) = 0
e, dividindo por 4,
-sin xsin y + cos xcos y,dydx = 0

Passo 5

Isolamos dydx:
cos xcos y,dydx = sin xsin y Longrightarrow dydx = sin xsin ycos xcos y = tan xtan y

Resposta

dydx = tan x tan y

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