Resolva as seguintes EDOLH
y^prime prime+9 y=0, y(pi2)=2, y^prime(pi2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9,y = 0
sujeita às condições iniciais
y!l(tfracpi2r)=2, y'!l(tfracpi2r)=1
Vamos usar o método das raízes da equação característica.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada, trocando y'' por lambda^2 e y por 1, temos
lambda^2 + 9 = 0
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lambda^2 = -9 Longrightarrow lambda = pm 3,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas pm 3i, a solução geral é
y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Derivando para aplicar a segunda condição:
y'(x) = -3,C1,sin(3x) + 3,C2,cos(3x)

Passo 4

Aplicando x = tfracpi2:
  1. De yl(tfracpi2r)=2:
    C1cos!l(3tfracpi2r) + C2sin!l(3tfracpi2r) = C1cdot0 + C2cdot(-1) = -,C2 = 2 Longrightarrow C2 = -2
  2. De y'l(tfracpi2r)=1:
    -3,C1sin!l(3tfracpi2r) + 3,C2cos!l(3tfracpi2r) = -3,C1cdot(-1) + 3,C2cdot0 = 3,C1 = 1 Longrightarrow C1 = tfrac13

Passo 5

Substituindo C1=tfrac13 e C2=-2 na solução geral, obtemos
y(x) = tfrac13,cos(3x);-;2,sin(3x)

Resposta

y(x) = 13cos(3x) - 2sin(3x)

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