Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral x-12 x^2+4 x+20 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x-12x^2+4x+20,dx
Este é um caso de integral de razão de polinômios. A ideia geral é escrever o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais um resto, de modo a obter um logaritmo e um arco‐tangente.

Passo 2

Vamos primeiro completar o quadrado no denominador:
2x^2+4x+20 = 2l(x^2+2x+10r) = 2l((x+1)^2+9r)

Passo 3

Defina
D = 2l((x+1)^2+9r), D' = dDdx = 4x+4
Queremos constantes A e B tais que
x-1 = A,(4x+4) + B
Igualando coeficientes em x e em termo constante:
4A = 1 ;Rightarrow; A=tfrac14, 4A + B = -1 ;Rightarrow; 1 + B = -1 ;Rightarrow; B=-2

Passo 4

Escrevendo a integral como soma de duas:
integral x-1D,dx = Aintegral 4x+4D,dx + Bintegral 1D,dx
Como D' = 4x+4, a primeira parte é
Aintegral D'D,dx = Alnl|Dr|
Para a segunda parte, note que
1D = 12l((x+1)^2+3^2r)
e usa‐se a fórmula
integralduu^2+a^2=1aarctan! ua

Passo 5

Substituindo A=tfrac14 e B=-2:
integral x-12x^2+4x+20,dx = 14lnl|2x^2+4x+20r| -2cdot12,13arctan!l(x+13r) + C
= 14lnl(2x^2+4x+20r) - 13arctan!l(x+13r) + C

Resposta

boxed integral x-12x^2+4x+20,dx = 14lnl(2x^2+4x+20r) - 13arctan!l(x+13r) + C

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