Nos Exercícios 32 a 36, os vetores colunas estão escritos como linhas, como \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), e T(\mathbf{x}) está escrito como T\left(x_{1}, x_{2}\right).
Mostre que a transformação
definida por
não é linear.
Mostre que a transformação
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
O conteúdo é transformações lineares e, para provar que
não é linear, basta encontrar uma violação de uma das propriedades de linearidade (aditividade ou homogeneidade). Aqui vamos usar homogeneidade.
Passo 2
A homogeneidade exige que, para todo vetor
e todo escalar
, valha
Escolhemos
e
.
Passo 3
Calculamos os dois lados da igualdade:
Como
, a condição de homogeneidade falha.
Resposta
A transformação
não é linear.