Nos Exercícios 32 a 36, os vetores colunas estão escritos como linhas, como \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), e T(\mathbf{x}) está escrito como T\left(x_{1}, x_{2}\right).
Mostre que a transformação T definida por T(x1, x2)=(4 x1-2 x2, 3|x2|) não é linear.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon R^2 to R^2, Tl(x1,x2r)=l(4x1-2x2,,3lvert x2rvertr)
O conteúdo é transformações lineares e, para provar que T não é linear, basta encontrar uma violação de uma das propriedades de linearidade (aditividade ou homogeneidade). Aqui vamos usar homogeneidade.

Passo 2

A homogeneidade exige que, para todo vetor vinR^2 e todo escalar cinR, valha
Tl(c,vr) ;=; c,T(v)
Escolhemos v=(0,1) e c=-1.

Passo 3

Calculamos os dois lados da igualdade:
Tl(-1cdot(0,1)r) = T(0,-1) = l(4cdot0 - 2cdot(-1),,3lvert -1rvertr) = (2,3),
-1cdot T(0,1) = -1cdotl(4cdot0 - 2cdot1,,3lvert 1rvertr) = -1cdot(-2,3) = (2,-3)
Como (2,3)neq(2,-3), a condição de homogeneidade falha.

Resposta

A transformação T não é linear.

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