Nos Exercícios 32 a 36, os vetores colunas estão escritos como linhas, como \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), e T(\mathbf{x}) está escrito como T\left(x_{1}, x_{2}\right).
Mostre que a transformação T definida por T(x1, x2)=(2 x1-3 x2, x1+4,5 x2) não é linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon R^2 to R^3, T(x1,x2) = l(2x1 - 3x2,;x1 + 4,;5x2r)
O que queremos mostrar é que T não satisfaz as condições de linearidade (aditividade e homogeneidade). Um teste rápido é verificar se
T(0,0) = (0,0,0),
pois toda transformação linear deve enviar o vetor zero no domínio para o vetor zero no contradomínio.

Passo 2

Calculemos
T(0,0) = l(2cdot 0 - 3cdot 0,;0 + 4,;5cdot 0r) = (0,,4,,0)
Como (0,4,0)neq(0,0,0), concluímos que T(0)neq0, violando a condição necessária para linearidade.

Resposta

T não é linear, pois não satisfaz T(0)=0.

Exercícios relacionados